संसर्गजन्य रोगाचा प्रसार रोखण्याच्या लढाईत गणिताची मदत

Share

साथीच्या रोगांशी लढाई करताना गणिताचे काय काम ? असा प्रश्न सर्वसामान्यांना पडू शकतो. पण खरे तर अशा लढ्यात गणित हा वैद्यकशास्त्राचा एक महत्त्वपूर्ण साथीदार ठरू शकतो. या लेखात आपण रोगाच्या प्रसारांसंबंधीची प्राथमिक स्वरूपातील काही गणितीय प्रारूपे (मॉडेल), तसेच गुंतागुंतीच्या घटकांची काळजी घेऊ शकणारी आधुनिक संगणकांवर आधारलेल्या सदृश्यकृती (सिम्युलेशन्स) यांची चर्चा करणार आहोत. यामधून जे उमगेल, त्याचा उपयोग कोविड-19 सारख्या नवीन रोगाबाबत धोरणे ठरविण्यासाठी होऊ शकतो.
 

 

नवीन कोरोना विषाणूपासून जगाच्या आरोग्याला मोठा धोका उद्भवलेला आहे. अशा परिस्थितीत जागतिक आरोग्य संघटनेने (WHO) या रोगाच्या प्रसारावर नियंत्रण आणण्यासाठी तत्काळ प्रति-उपाय सुचविले आहेत. मात्र वेळीच निर्णय घेण्यासाठी लागणारी रोगाविषयीची समज तज्ज्ञ कशी मिळवतात? किंवा या रोगामुळे एकूण किती जण बाधित होतील, आणि किती जणांना ‘विलगीकरण (क्वारंटाइन)’ करावे लागेल, हा अंदाज त्यांना कसा येतो? संसर्गाच्या प्रसाराची गती आणि देश-प्रदेशांच्या सीमांपलिकडे पसरण्याची रोगाची क्षमता याची कल्पना तज्ज्ञ कशी करतात? टाळेबंदी (लॉकडाऊन) सारखे आदेश कोणत्या निष्कर्षांच्या आधारावर दिले जातात? आणि महत्त्वाचे म्हणजे, साथ किती काळ टिकून राहील याचा अंदाज तज्ज्ञ कसा बांधतात? या सर्व बाबींचे आपल्याला कुतुहल वाटणे साहजिकच आहे.

या सर्व प्रश्नांची उत्तरे देण्यात गणित मदत करू शकते. संसर्गजन्य रोगाचा प्रसार लोकांमध्ये कसा होतो, याच्या गतिकीचे वर्णन करण्यासाठी गणितीय फले (मॅथेमॅटिकल फंक्शन्स) साधन म्हणून वापरता येतात. गणितीय प्रतिमानांतून (मॅथेमॅटिकल मॉडेलिंग) रोगाच्या गतिकीचे ‘प्रारूप’ किंवा चित्र निर्माण होते. यातून मिळालेली माहिती ही आलेख, तक्ते आणि तुलनात्मक सारणींच्या स्वरूपात मांडता येते.

साथीमुळे लोक कसे बाधित होतील, याचे चित्र उभे करण्यासाठी प्रारूपे मोलाची माहिती पुरवतात. म्हणून साथरोगशास्त्रज्ञ किंवा सार्वजनिक आरोग्य क्षेत्रातील तज्ज्ञ हे, धोक्याचे मूल्यमापन करण्यासाठी, रोगाचा प्रसार रोखण्यासाठी, किंवा रोग नियंत्रणासाठी अंमलबजावणी केल्या जाणाऱ्या धोरणांचे विश्लेषण करण्यासाठी प्रारूपांचा वापर करतात. प्रारूपापासून मिळणारी गणिती समज ही लसीकरणाची व्यापक मोहीम, उपचार पद्धती, सावधगिरीच्या उपाययोजना, अशा रोग-व्यवस्थापनाच्या नियमावली (प्रोटोकॉल) ठरविण्यास मदत करते.

जेव्हा संसर्गजन्य रोग हा आजच्या नवीन कोरोनाविषाणूच्या साथीप्रमाणे अपरिचित असतो, तेव्हा धोरणे ठरविण्यासाठी ‘प्रारूपे’ उपयुक्त ठरतात. अशोका विद्यापीठ (सोनीपत) आणि इन्स्टिट्यूट ऑफ मॅथेमॅटिकल सायन्सेस (चेन्नई) येथील प्रा. गौतम मेनन म्हणतात,“धोरणांवर प्रभाव पडू शकेल अशा कित्येक प्रश्नांची उत्तरे मिळवण्यासाठी प्रारूपे मदत करू शकतात. अनेकदा प्रश्न पद्धतशीरपणे मांडण्याचा आणि वेगवेगळ्या उपायांचा रोगाच्या प्रसारावर काय परिणाम होऊ शकेल याचे विश्लेषण करण्याचा, प्रारूपे हाच केवळ एक तर्कसंगत मार्ग असतो.” 

अज्ञात आकृतीबंध

संसर्गजन्य रोगांच्या गणितीय प्रारूपांची मुळे शंभर वर्षे जुनी आहेत. १९२० साली विल्यम करमॅक आणि ए. जी. मॅकेंड्रिक यांना असे आढळले की रोगाचे संक्रामण झालेल्या लोकसमूहाचे तीन गट करता येतात: संवेदनक्षम (ससेप्टिबल-एस), बाधित (इंफेक्टेड-आय) आणि आजारातून बरे झालेले (रिकव्हर्ड-आर). त्यांनी या प्रत्येक गटातील व्यक्तींची संख्या दर्शविण्याचा एक गणिती मार्ग शोधला.

त्यांनी त्यांच्या कल्पनेचे रूपांतर विकलन समीकरणात (डिफरन्शीयल इक्वेशन) केले. एखादी भौतिक राशी / संख्या आणि तिच्यातील बदलाचा दर यांच्यातील संबंध विकलन समीकरणातून शोधता येतो. करमॅक-मॅकेंड्रिक समीकरणातून, सुरुवातीच्या एका बाधित व्यक्तीपासून इतरांना लागण होऊन लोकसंख्येतील किती टक्के लोक, काळानुसार, एका गटातून दुसऱ्या गटात जातील, याचा अंदाज करता येतो.

करमॅक-मॅकेंड्रिक यांनी ज्याला ‘अभिजात’ म्हणता येईल असे ‘एसआयआर’ प्रारूप तयार केले, ज्याद्वारे रोगाच्या प्रसाराचा अंदाज करता येऊ लागला. तेव्हापासून गणितीय प्रारूपांनी सार्वजनिक आरोग्य सेवेमध्ये सुधारणा घडवून आणण्यात महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावली आहे. शासन, आरोग्य संघटना, वैज्ञानिक आणि रुग्णालये असे सर्व जण वैद्यकीय समस्या उद्भवल्यावर त्यांच्याशी निगडित बाबी हाताळण्यासाठी गणितीय प्रारूपांवर मोठ्या प्रमाणात अवलंबून असतात.

मेनन सांगतात,“आज वापरात असलेली बहुतेक सर्व प्रारूपे ही मूळ ‘एसआयआर’ प्रारूपावर आधारित आहेत, पण त्यांच्यात बऱ्याचदा काही अतिरिक्त घटकांचा समावेश केलेला असतो.”

 

प्रारूपांचे प्रकार :  कप्पे, जाळे आणि कारक

बाधित व्यक्तीपासून निरोगी व्यक्तीला संसर्ग (लागण) होण्यास अनेक घटक कारणीभूत असतात-- रोगकारकांचा प्रसार हा थेट संपर्क, पाणी, हवा, किंवा जेथे रोगकारकांना आश्रय मिळू शकतो अशा एखाद्या पृष्ठभागाच्या माध्यमातून होतो. रोगाच्या गतिकीचा अभ्यासही वेगवेगळ्या पातळीवर करता येतो-- प्रत्येक व्यक्ती, लोकांचा लहानसा समूह आणि पूर्ण लोकसंख्या. उपलब्ध झालेल्या माहितीच्या जटिलतेनुसार (गुंतागुंतीनुसार) भिन्न प्रारूपांची निवड केली जाते. आधुनिक काळात, प्रारूपे संगणकाद्वारे “सिम्युलेट” केली जातात, आणि त्यांद्वारे रोगाच्या वितरणाचा आकृतीबंध आणि बाधितांची संख्या यासंबंधीचे गणित करता येते.

अगदी साध्या “कप्पे” प्रकारच्या प्रारूपात, लोकांची विभागणी तीन कप्प्यांत केली जाते – संवेदनक्षम, बाधित आणि बरे झालेले. समीकरणे मांडताना असे मानले जाते की बाधित व्यक्ती संवेदनक्षम व्यक्तींच्या संपर्कात येईल, त्यांच्यात रोगाची लागण करेल आणि त्यांचे रूपांतर बाधित व्यक्तींमध्ये करेल. जसजशी बाधितांची संख्या वाढेल, तसतशी संवेदनक्षम व्यक्तींची संख्या कमी होईल. बाधित व्यक्तीदेखील काही काळाने बऱ्या होऊ शकतात आणि त्यांची मोजणी बरे झालेल्या रुग्णांमध्ये केली जाईल.

बाधित व्यक्तींची संख्या काळानुसार कशी बदलते, हे पाहण्यासाठी ही समीकरणे सोडवता येऊ शकतात. काही वेळा मूळच्या प्रारूपात अतिरिक्त घटक समाविष्ट केले जातात. उदाहरणार्थ, एखाद्या व्यक्तीमध्ये रोगाची कोणतीही लक्षणे दिसत नसल्यास त्यांचा वेगळा गट करता येतो. काही वेळा ‘वय’ हा अतिरिक्त घटक म्हणून विचारात घ्यावा लागतो.

परंतु वस्तुस्थिती याहून बरीच गुंतागुंतीची असते. सार्वजनिक ठिकाणी लोक कसेही एकमेकांमध्ये मिसळतात, एकमेकांना भेटतात. याचा रोगाच्या प्रसारावर मोठा परिणाम होतो. याशिवाय रोगाचा टप्पा, व्यक्तीची रोगप्रतिकारशक्ती किंवा लोकसंख्येशी निगडित घटक अशा काही लक्षणीय बाबी मूळ प्रारूपात विचारात घेतलेल्या नाहीत. म्हणूनच आज अधिक परिपूर्ण प्रारूपाची गरज आहे.

काही रोगांचा (गोवर, लैंगिक संक्रामित रोग) प्रसार सामाजिक किंवा शारीरिक संपर्कामुळे चटकन घडून येतो. ‘जाळे’ या प्रकारच्या प्रारूपात ही अतिरिक्त बाब विचारात घेतली जाते. येथे, प्रत्येक व्यक्ती ही जाळ्यातील एक गाठ (नोड) म्हणून दाखवितात, तर दोन व्यक्तींमधील संपर्क हा या गाठींना जोडणाऱ्या धाग्यांच्या स्वरूपात (लिंक) दाखविला जातो. मेनन सांगतात,“कुटुंबातील जवळचे सदस्य, शिक्षक आणि त्यांचे विद्यार्थी, किंवा डॉक्टर आणि त्यांचे रुग्ण, हे बऱ्याचदा एकमेकांजवळ येतात, म्हणजेच यांच्या दरम्यान हे संपर्काचे धागे असतात. अशा अनेक धाग्यांनी बनलेल्या जाळ्यातून रोगाचा प्रसार होऊ शकतो.”

लोक जगाच्या एका प्रदेशातून दुसऱ्या प्रदेशात प्रवेश करताना स्वैरपणे मिसळत असतात. त्यामुळे रोगाचा प्रसार प्रदेशांच्या सीमांपलिकडेही होतो. लोकसमूहातील भिन्नता, सामाजिक प्रभाव आणि एखाद्या प्रदेशाची रोगप्रवण स्थिती यांचाही रोगाच्या प्रसारावर प्रभाव पडतो. यांतील काही घटकांचे सिम्युलेशन संगणकाद्वारे करता येते, आणि विविध घटकांच्या आंतरक्रियांतून काय निष्पन्न होऊ शकते, हेही त्याद्वारे तपासता येते.

अशा काही घटकांचा समावेश “कारक-आधारित” प्रारूपात (एजंट-बेस्ड मॉडेल) करता येतो. याद्वारे संशोधकाला साथीच्या प्रसारामुळे उद्भवलेल्या गुंतागुंतीच्या परिस्थितीतील आकृतीबंधाचे विश्लेषण करता येते, आणि याची तुलना प्रत्यक्ष निरीक्षणातून मिळालेल्या माहितीबरोबर करता येते. प्रत्येक व्यक्ती ही पर्यावरण, स्थान, वेळ, व इतरांबरोबरचा संपर्क यांना कसा प्रतिसाद देते, याची काळजी घेणाऱ्या घटकांचा समावेश करून, स्थानानुसार व काळानुसार होणाऱ्या रोगाच्या प्रसाराचा अंदाज बांधता येतो.

कारक-आधारित प्रारूपात, प्रत्येक व्यक्ती ही एक कारक असते, व तिची कारक म्हणून व्याख्या तिच्या वैशिष्ट्यांनुसार केली जाते. उदाहरणार्थ, एक कारक व्यक्ती घर किंवा कार्यालय अशा वेगवेगळ्या जागी असू शकते. त्यानंतर वेगवेगळ्या कारकांमधील संपर्क आणि या कारकांमध्ये झालेला रोगाचा फैलाव याचे सिम्युलेशन करण्यासाठी संगणकांचा वापर करता येतो. हे प्रारूप लवचिक असून, कारकाची वैशिष्ट्ये निश्चित करण्याची आणि कारक आपांपसात रोगाचा प्रसार कसा करतील, हे निवडण्याची मुभा देते. “उदाहरणार्थ, प्रत्येक कारकाची रोगाला प्रतिकार करण्याची क्षमता वेगवेगळी असू शकते, किंवा कारकाचे वय देखील लक्षात घेतले जाऊ शकते.” मेनन म्हणतात, “अशी गुंतागुंतीची प्रारूपे बनविण्यासाठी अतिशय वेगाने गणिते करू शकणाऱ्या उच्च-क्षमतेच्या संगणकांची गरज असते.”

 

धोरणांवर प्रभाव टाकणे

एखाद्या साथीशी संबंधित घटकांचा अंदाज बांधण्याच्या वरील पद्धतशीर प्रक्रिया तत्कालीन कोरोनाविषाणूच्या उद्रेकाच्या संदर्भात बहुमूल्य ठरल्या आहेत. कित्येक नवीन प्रारूपे निर्माण झाली असून त्यांद्वारे या रोगकारक विषाणूचे विनाशी स्वरूप आणि प्रसार स्पष्ट झालेला आहे. मेनन सांगतात, “एका प्रारूपात वुहान (जे चीनमधील या रोगाचे केंद्रबिंदू मानले जाते) येथून दुसऱ्या प्रदेशात रोगाचे संक्रामण कसे झाले असेल, हे पाहण्याकरिता हवाई वाहतुकीच्या माहितीचा (डेटा) वापर केला गेला आहे.”

विलगीकरण केलेल्या व्यक्तींची संख्या लक्षात घेता आणि सामाजिक अंतर राखण्याचे उपाय करूनदेखील हा रोग किती लवकर पसरू शकतो आणि किती जणांना त्याची बाधा होऊ शकते, याचे गणन ही प्रारूपे करू शकतात. अशी प्रारूपे सरकारच्या आरोग्य सेवेसाठी मदतपूर्ण ठरतात आणि वैद्यकीय साधने, आयसीयू बेड, व्हेंटिलेटर यांसारख्या सुविधांचे अंदाजपत्रक तयार करण्यासाठी, तसेच तत्काळ धोरणे राबविण्यासाठी त्यांचा उपयोग होतो.

 “भारतासाठीचे असे एक सर्वंकष प्रारूप अजून तयार व्हायचे असले, तरी भारत सरकार जागतिक आरोग्य संघटनेच्या मार्गदर्शक तत्त्वांचे काळजीपूर्वक पालन करीत आहे आणि त्याला मिळणाऱ्या प्रतिसादाचे सतत मूल्यमापन करीत आहे, असे दिसून येत आहे,” मेनन म्हणतात. लोक एरवी इतरांशी भेटतात, त्या पद्धतीत बदल करून सार्वजनिक ठिकाणी सामाजिक अंतर राखणे, हा या रोगाचा प्रसार रोखण्याचा एकमेव उपाय आहे. हा उपाय राबविण्याची सामूहिक जबाबदारी पाळून आपण वैद्यकीय सेवांवर येणारा ताण किंवा त्यांची क्षमता संपण्याची शक्यता टाळू शकतो.